Черновик статьи

Версия от 18 октября 2026. Читать: по-русски (23 с.), по-английски (21 с.); скачать PDF: RU, EN. Это черновик: статус каждого утверждения отмечен в тексте ([Lean], [на бумаге], [компьютер], [открыто]).

На любое место статьи можно сослаться: viewer.html#nameddest=thm:small открывает теорему с меткой thm:small, viewer.html#page=6 — страницу; метки — в содержании ниже (у каждого пункта есть и якорь на этой странице). То же работает с самим PDF: paper/d5-ru.pdf#nameddest=thm:small.

Аннотация

Для группы $G$ пусть $D_n(G)=G\cap(1+\D(G)^n)$ — её целочисленные размерные подгруппы, а $\gamma_n(G)$ — её нижний центральный ряд. Верно ли включение $D_5(G)\subseteq\gamma_4(G)$ для всякой группы, неизвестно (Коуровская тетрадь, задача 20.84). Для колец Ли аналогичное включение недавно доказано Иониным, Михайловым и Петровым и формально проверено в Lean. В этой заметке собрано то, что известно, приведена элементарная редукция группового вопроса к конечным метабелевым $2$-группам ступени нильпотентности три, разобрано, какие шаги доказательства для колец Ли не имеют теоретико-группового аналога, и изложены вычислительные данные. Для $3$-кручения в $D_5/\gamma_5$ мы доказываем $D_5(G)=\gamma_5(G)$, когда $G/\gamma_2(G)$ конечна и у неё не больше одного инварианта, большего $3$, а с помощью компьютерного перебора — для всех $3$-групп порядка не больше $3^9$. Задачу мы не решаем.

Содержание

1. 1. Вопрос с. 1
   вопрос 1 · Вопрос 1.1 ([KM26, задача 20.84], [IMP26, §1.3])
2. 2. Элементарная редукция с. 2
   вопрос 2 · Предл. 2.1 · Зам. 2.2 («метабелевость» автоматична) · Зам. 2.3 (ограниченный вариант)
3. 3. Доказательство для колец Ли и где оно не переносится с. 3
   вопрос 3
4. 4. Формализация с. 4
5. 5. Вычисления с. 6
   Предл. 5.1 · Лемма 5.2 (о минимальном контрпримере) · Предл. 5.3 · Теор. 5.4 · Зам. 5.5 (отсев в дереве порождения; MATH-40) · Лемма 5.6 · Предл. 5.7 · Предл. 5.8 · Лемма 5.9
6. 6. $3$-кручение: порядки $3^8$ и $3^9$ и группы с $G/\gamma _2$ экспоненты $3$ с. 14
   Лемма 6.1 · Лемма 6.2 (о минимальном контрпримере, $p=3$) · Лемма 6.3 · Зам. 6.4 · Предл. 6.5 · Теор. 6.6 · Зам. 6.7 · Теор. 6.8 · Лемма 6.9 (фильтр родителей) · Теор. 6.10 · Зам. 6.11 · Теор. 6.12
   • Лемма о кольцах Ли с. 15
   • Группы с $G/\gamma _2$ экспоненты $3$ с. 16
   • $p$-накрывающая группа с. 19
   • Порядки $3^8$ и $3^9$ с. 20
7. 7. Открытые вопросы с. 21
8. {\cyrillictext \CYRS \cyrp \cyri \cyrs \cyro \cyrk \cyrl \cyri \cyrt \cyre \cyrr \cyra \cyrt \cyru \cyrr \cyrery } с. 22