Каждая клетка — все группы данного порядка и ранга (числа порождающих). Цвет говорит, чем закрыт вопрос для всех них:
вычислением, доказательством или обоими вместе. Наведите на клетку — появится ссылка на утверждение черновика; щелчок открывает это утверждение.
$2$-группы ступени $3$: $D_5(Q)=1$?
Это и есть задача 20.84: по сведению (предложение 2.1) $D_5\subseteq\gamma_4$ для всех групп тогда и только тогда,
когда $D_5(Q)=1$ для всех конечных $2$-групп ступени $3$. Ступень $3$ требует $d\le n-2$ при порядке $2^n$.
Обведены открытые клетки порядка $2^{11}$: ранги $5$–$7$.
C компьютер C+P компьютер + бумага P на бумаге ? открыто. Пустые клетки: таких групп нет.
До $2^8$ — решётка $\Delta^n$ для всех групп; $2^9$ — сито Дженнингса и решётка.
$2^{10}$ — лемма о минимальном контрпримере: достаточно шаг-$1$ потомков групп порядка $2^9$ (ANUPQ), $3400$ кандидатов.
$2^{11}$ — то же с отсечением целых поддеревьев; ранг $8$ — квадратичными формами и леммой 5.6, ранг $9$ невозможен.
$3$-группы: $D_5(Q)=\gamma_5(Q)$?
Это вопрос о $3$-кручении в $D_5/\gamma_5$ (оценка Тахары: экспонента делит $6$). Клетки «на бумаге» закрыты так:
если $Q/\gamma_5$ метабелева, то $D_5=\gamma_5$ по Гупте–Тахаре, а неметабелева группа ступени $4$ ранга $d$ имеет порядок
$\ge3^{d+5}$ (предложение 6.5); при $d=2$ фактор $\gamma_2/\gamma_3$ цикличен. Остальное — перебор до $3^9$.
Открытые клетки заштрихованы: в них доказан случай, когда у $Q/\gamma_2$ не больше одного инварианта $>3$ (теорема 6.8).
C компьютер C+P компьютер + бумага P на бумаге ? открыто; доказан случай, когда у $Q/\gamma_2$ не больше одного инварианта $>3$ (теорема 6.8). Пустые клетки: таких групп нет.