Задача о $D_5$
ENRU

Вычисления

Каждый перебор устроен как воронка: от всех групп (или родителей в дереве $p$-групп) к немногим кандидатам, которым считается $D_5$. Шкала логарифмическая. На последней ступени каждой воронки — ноль.

Порядок $2^{10}$, ступень $3$

родители порядка 2⁹ (ступень 2–3, циклическая γ₃)1 422 862шаг-1 потомки (ANUPQ)1 819 675ступени 388 809кандидаты: центр цикличен, n∈γ₃∩ M₅3 400D₅≠10

Предл. 5.3

Порядок $2^{11}$, ранг $4$

вершины порядка 2¹⁰, ранг 4998 844оставлены отсечением как родители52 181кандидаты порядка 2¹¹52 568D₅≠10

§5, «Дальнейшее»

Порядок $3^8$

все группы порядка 3⁸1 396 077ранг 3 или 4, ступень 462 257неметабелевы (все ранга 3)904z∈ Q″∩ M₅699z∈ D₅0

Теор. 6.12

Порядок $3^9$, ранги $3$–$4$

все группы порядка 3⁸1 396 077родители: ранг 3–4, ступень 3–4771 597проходят фильтр по p-накрытию3 986шаг-1 потомки305 583ступень 4, Q″≠1, центр цикличен64 362кандидаты: z∈ Q″∩ M₅62 245z∈ D₅0

Теор. 6.12

Все прогоны

ЧтоГруппИтогВремяКод
все $2$-группы порядков $8$–$128$2 665$D_n=\gamma_n$ при всех $n$compute
группы порядка $2^8$ ступени $\ge3$24 328$D_n=\gamma_n$ при всех $n$compute
метабелевы группы порядка $2^9$ ступени $3$ (сито Дженнингса)1 587 389после сита $2792$, у всех $D_4=D_5=1$compute
порядок $2^{10}$, ступень $3$ (ANUPQ)3 400у всех кандидатов $D_4=D_5=1$$63$ + $21$ проц.-чcompute/pq1024
порядок $2^{11}$, ранги $2$, $3$, $4$53 171у всех кандидатов $D_4=D_5=1$$\approx20$ проц.-ч (ранг $4$)compute/pq2048
все $3$-группы порядков $3^4$–$3^6$586$D_n=\gamma_n$ при всех $n$compute
порядок $3^7$, ступень $4$, после сита1 202$D_5=1$ двумя методамиcompute
порядок $3^8$, неметабелевы ступени $4$699$z\notin D_5$ у всех$26$ минcompute/magnus
порядок $3^9$, ранги $3$–$4$62 245$z\notin D_5$ у всех; копредставления перепроверены ANUPQ$3$ ч $21$ мин на $4$ ядрахcompute/magnus
случайные группы с $Q/\gamma_2$ экспоненты $3$, $3^{10}$–$3^{79}$169$D_5=1$ у всех (проверка теоремы 6.6)$5$ минcompute/magnus
факторы групп рипсовского типа, $2^{40}$–$2^{107}$14$D_5=1$; $D_4\ne1$ в трёхcompute/magnus

Метод: для конечной $G$ решётка $\Delta^n$ строится в форме Хауэлла над $\mathbb Z/p^E$; невхождение $g-1\notin\Delta^n+p^E\Delta$ доказывает $g\notin D_n$, вхождение подтверждается сертификатом $p^{E-1}\Delta\subseteq\Delta^n+p^E\Delta$. Для больших групп — усечённая алгебра Магнуса $\mathbb Z[G]/\Delta^n\cong T_{\lt n}(\mathbb Z^k)/I_n$ по копредставлению на $k$ порождающих. Проверки: два независимых метода, PARI/GP, известные значения.