Задача о $D_5$: где мы сейчас

Вопрос (Коуровская тетрадь, задача 20.84). Пусть $\Delta$ — фундаментальный идеал $\mathbb Z[G]$, $D_n(G)=G\cap(1+\Delta^n)$ — размерные подгруппы, $\gamma_n(G)$ — нижний центральный ряд. Всегда $\gamma_n\subseteq D_n$, и $D_n=\gamma_n$ при $n\le3$; при $n=4$ это неверно (Рипс). Верно ли $D_5(G)\subseteq\gamma_4(G)$ для всякой группы?

Для колец Ли ответ «да» (Ионин, Михайлов, Петров, 2026, с формализацией в Lean). Для групп вопрос открыт; мы его не решили. Здесь — что доказано, что посчитано и что осталось.

$2$-кручение: $D_5\subseteq\gamma_4$

до $2^{10}$

Верно для всякой конечной группы с силовской $2$-подгруппой порядка $\le2^{10}$, в частности для всех групп порядка $<2048$.

Порядок $2^{11}$: закрыты ранги $2$–$4$ и $\ge8$, открыты $5$–$7$.

$3$-кручение: $D_5=\gamma_5$

до $3^9$

Нет $3$-кручения в $D_5/\gamma_5$, если силовская $3$-подгруппа имеет порядок $\le3^9$.

На бумаге — для всех групп, у которых $G/\gamma_2$ имеет не больше одного инварианта больше $3$ (например, экспоненту $3$ или $C_9\times C_3^{s-1}$), любого порядка.

Кольца Ли и Lean

доказано

$D_5(L)\subseteq\gamma_4(L)$ для колец Ли; формализация проверена. Групповой вопрос и сведение к $2$-группам ступени $3$ сформулированы в Lean.

Контрпримеров

Ни в одной из посчитанных групп $D_5\ne\gamma_5$; везде $D_n=\gamma_n$ при всех $n$. Больше ста тысяч кандидатов, все вычисления точные.

Карта покрытия: $2$-группы ступени $3$

Клетка — все $2$-группы ступени $3$ данного порядка и ранга; закрыта, если для всех них $D_5=1$. Закрыто 33 клеток, открыто 3. Подробнее — карта покрытия.

C компьютер C+P компьютер + бумага P на бумаге ? открыто. Пустые клетки: таких групп нет.

Последнее

На бумаге: $D_5=\gamma_5$, если у $Q/\gamma_2$ не больше одного инварианта больше $3$ (в том числе $C_9\times C_3^{s-1}$); независимая рецензия ошибок не нашла.
Литература: что на самом деле анонсировал Тахара (с. 173) и поиск его отдельной работы.
Проверка вычислением для $C_9\times C_3^{s-1}$ и $C_{27},C_{81}\times C_3^{s-1}$: $2\,057$ групп, $4\,537$ элементов $z$, ни один не лежит в $D_5$.
Аудит ANUPQ (ispacex.github.io/gap): шаг порождения для $3^9$ повторён на исправленной версии, результат совпал побайтно.
На бумаге: $D_n(H\circ E)=D_n(H)$ для центральных произведений с $D_8$, $Q_8$ и $M_{2^{k+2}}$ (присоединение центрального квадратного корня); у всех $386$ кандидатов порядков $2^6$–$2^9$ условия выполнены. Две независимые рецензии.
На бумаге: склейка по собственной подгруппе $Z(E)$ — лемма о центральном корне любой степени (лемма 5.9). Перебор разложений $386$ кандидатов: $20$ раскладываются, у каждого есть разложение, покрытое предложением 5.8. Независимая рецензия и пересчёт другим методом.
Lean: лемма 5.9 (центральный корень любой степени) доказана в Lean, без sorry, только стандартные аксиомы; начата формализация остальных результатов «на бумаге».
Lean: предложение 5.8 доказано в Lean во всех случаях ($D_8$, $Q_8$, $M_{2^{k+2}}$), вместе с кольцевым утверждением $\mathbb Z[H]\cap\Delta(Q)^n=\Delta(H)^n$; $Q_8$ и $M_{2^{k+2}}$ сводятся к $D_8$ через одну надгруппу $(Q\times\mathbb Z)/\langle(s,-2)\rangle$.
Lean: сведение (предложение 2.1, замечание 2.3) доказано по модулю явных гипотез — теорем Пасси, Грюнберга и $D_3=\gamma_3$: от ступени $\le3$ к конечно порождённым группам и к конечным $2$-группам ступени $3$; для конечных групп теорема Грюнберга не нужна.
Lean: лемма 6.3 и предложение 6.5 ($[\gamma_2,\gamma_2]\subseteq\gamma_5$; неметабелева $p$-группа ступени $4$ ранга $d$ имеет порядок $\ge p^{d+5}$) доказаны в Lean без гипотез; вместо кольца Ли — группа $G/\gamma_5$ и тождество Холла — Витта.
Lean: теоремы 6.6 и 6.8 ($D_5=\gamma_5$ при $G/\gamma_2\cong C_{3^a}\times C_3^{s-1}$) доказаны в Lean по модулю теоремы 6.1 Тахары, записанной явной гипотезой и сверенной со сканом; оба подслучая, включая строку $s$ условия (E).

Черновик статьи (от 18 октября 2026): по-русски, по-английски (PDF: RU, EN); вся история — хронология.