Заметки об источниках

Здесь — то, что мы заметили в чужих таблицах и программах, пока сверяли с ними свои данные. В отличие от остальных страниц, речь идёт о 2-примарной части гомотопических групп сфер.

Пакет Н. Стрикленда для Mathematica (Toda.m)

N. Strickland, пакет о нестабильных гомотопических группах сфер до 19-го стема: strickland1.org/toda (файлы Toda.m, LambdaAlgebra.m, LambdaData.m, TodaChecks.m). Данные в основном из книги Тоды Composition Methods in Homotopy Groups of Spheres (1962). Пакет хранит группы $\pi_{n+k}(S^n)$ по модулю нечётного кручения, образующие, порядки и 962 соотношения между композициями, надстройкой $E$, инвариантом Хопфа $H$ и умножением Уайтхеда $P$. Его лямбда-алгебра — только mod 2.

Mathematica у нас нет, поэтому данные пакета мы прочитали собственной программой и прогнали проверки согласованности: перенос проверок автора (TodaChecks.m) и свои — на степени, порядки и лямбда-представителей. Независимая mod-2 лямбда-алгебра полностью совпала с LambdaData.m. Остальное нашлось как ошибки в данных:

Toda.m, строка 1623: правило Sigma[Sigma[sigmasecond]] -> 2 Sigma[sigma[8]] приравнивает элементы разных групп, $\pi_{15}(S^8)$ и $\pi_{16}(S^9)$; правило при этом срабатывает.
Строка 2126: o[Sigma[sigmaprime],eta[15],epsilon[16]] -> Sigma[zetaprime] — справа должно быть $\Sigma^2\zeta'$. Это единственное нарушение $E\circ P=0$, которое находят проверки.
Строки 1947–1960: опечатка в имени функции (AddRelations), из-за неё три соотношения не добавляются.
Строка 1144: AddOrderRule вызван с четырьмя аргументами вместо пяти, поэтому элемент $w_n$ при нечётном $n$ не получает порядок 2.
Строка 1450: SetOrder[o[nu[6],kappa[9]],4,"Toda, Theorem 12.7"] — порядок $\nu_6\circ\kappa_9$ равен 2, а не 4 (см. ниже). Из-за этого пакет даёт $\pi_{23}(S^6)\cong\mathbb Z_4\oplus(\mathbb Z_2)^3$ вместо $(\mathbb Z_2)^4$.
Строка 1563: SetOrder[o[omega[17],nu[32]],2,...] — опечатка, должно быть nu[33]; порядок $\omega_{17}\circ\nu_{33}$ поэтому не задан, и в $\pi_{36}(S^{17})$ появляется лишнее слагаемое $\mathbb Z$.
Не задан порядок $\nu_7\circ\kappa_{10}$ (он равен 2: $\pi_{24}(S^7)\cong(\mathbb Z_2)^4$, Тода, теорема 12.7), отсюда лишнее $\mathbb Z$ в $\pi_{24}(S^7)$.
Мелкие ошибки в примерах документации toda.pdf.

Помимо этого, проверки показывают пробелы — образы $E$, $H$, $P$ в 33, 14 и 29 группах не сводятся к образующим. Автор сам предупреждает о такой неполноте на странице пакета, противоречий за ней не найдено.

$\pi_{23}(S^6)\cong(\mathbb Z_2)^4$: порядок $\nu_6\kappa_9$ равен 2

Сверка групп пакета с таблицей Тоды в перепечатке Равенела (Complex Cobordism, 3-е изд., табл. A3.4, с. 390) дала 377 совпадений из 380 клеток ($2\le n\le21$, $k\le19$). Все три расхождения — ошибки пакета (пп. 5–7 выше). Про $\pi_{23}(S^6)$:

таблица Тоды у Равенела и копия в таблице PKU: $(\mathbb Z_2)^4$ (обе — перепечатки книги Тоды);
Miyauchi, Mukai, Ohara, arXiv:1705.00273, §3, берут продолжение $\nu_6\kappa_9$ на пространство Мура $M^{24}$ — оно существует только при $2\nu_6\kappa_9=0$;
arXiv:2107.00154, доказательство предл. 3.4: $\{P(E\theta)+\nu_6\kappa_9,\ \eta_6\mu_7\sigma_{16}\}\cong(\mathbb Z_2)^2$; так как $P(E\theta)$ порядка 2 (это есть и в самом пакете, строка 1438), $2\nu_6\kappa_9=0$;
то же из соотношений: $2\kappa_7=\bar\nu_7\nu_{15}^2$ и $\nu_6\bar\nu_9=P(\nu_{13}^2)$ дают $2\nu_6\kappa_9=P(\nu_{13}^4)=0$, так как $\pi^s_{12}=0$ (наш вывод).

Прямо это сказано у Y. Hirato, H. Kachi, J. Mukai, 21-st and 22-nd homotopy groups of the n-th rotation group, J. Fac. Sci. Shinshu Univ. 41 (2006), с. 12 (открытый доступ): $\pi^6_{23}=\{P(\Sigma\theta),\nu_6\kappa_9,\bar\mu_6,\eta_6\mu_7\sigma_{16}\}\cong(\mathbb Z_2)^4$. Порядок 4 есть у соседнего $\nu_5\kappa_8$ (там же, с. 11: $2\nu_5\kappa_8\ne0$), видимо, отсюда и ошибка. Текст самой теоремы 12.7 книги Тоды в открытом доступе мы не нашли.