Метод и проверки

Лямбда-алгебра

Соглашения — как у С. О. Иванова, Р. В. Михайлова и Дж. Ву, arXiv:1506.00952, §2, при $p=3$: $\deg\lambda_i=4i-1$ ($i\ge1$), $\deg\mu_j=4j$ ($j\ge0$), $a(k,j)=(-1)^{j+1}\binom{2(k-j)-1}{j}$, $b(k,j)=(-1)^j\binom{2(k-j)}{j}$. Слово допустимо, если после $\lambda_i$ следующий индекс $\le 3i-1$, а после $\mu_i$ — $\le 3i$. $\Lambda(1)$ — допустимые слова с первым индексом $\le1$.

В статье $N(k)=k-[\tfrac{k+1}{p}]$. Скобки мы читаем как потолок: с полом соотношение при $k=1$ содержало бы собственную левую часть. Дальше потолка все биномы и так нулевые. $N'(k)=k-\lceil k/p\rceil$.

Дифференциал — дифференцирование со знаком Кошуля, $\partial(xy)=\partial x\cdot y+(-1)^{|x|}x\,\partial y$. Недопустимые произведения переписываются по соотношениям в допустимый базис, рекурсивно.

Метабиблиотека

Слова в $\lambda_i,\mu_i$ ($i\ge1$), которые начинаются с $\lambda_1$ или $\mu_1$, кончаются на $\lambda$ и допустимы. Это слова $\Lambda(1)$ без $\mu_0$, кончающиеся на $\lambda$. Слова с $\mu_0$ — это ровно слова, кончающиеся серией $\mu_0$; они образуют подкомплекс $\Lambda(1)\mu_0$. Слова на $\lambda$ образуют подкомплекс фактора $\Lambda(1)/\Lambda(1)\mu_0$ — это проверено на каждом слове. Клетка слова: $n-1=2+4\sum(\text{индексы})-\#\lambda$; цвет — число $\mu$.

Проверки

• $\partial^2=0$ и $\partial\Lambda(1)\subseteq\Lambda(1)$ на всех 2,2 млн допустимых словах до стема 43.
• $H(\Lambda(1))$ совпадает с нестабильным $\operatorname{Ext}$ сферы $S^3$ при $p=3$ из независимой программы sseq/ext (resolve_unstable, модуль S_3[3]) в каждой клетке (стем, $s$) до стема 43.
• Гомологии метабиблиотеки при $n>3$ равны $H(\Lambda(1))$ поклеточно по $(n,s,\text{цвет})$ (до $n=46$) и равны $\operatorname{Ext}$ из sseq по $(n,s)$ (до $n=75$). Выбрасывание $\mu_0$ убирает только башню над $\pi_3=\mathbb Z$.
• Две независимые реализации перебора — на Python и на Rust — дают побайтно один и тот же результат до $n=56$.

Цвет — это число бокштейнов

У алгебры Стинрода при нечётном $p$ есть дополнительная градуировка: число $Q$ в элементе $Q(E)P(R)$ базиса Милнора. Её сохраняют все соотношения, а минимальная резольвента в sseq автоматически однородна по ней, поэтому $\operatorname{Ext}$ получает третью градуировку $e$ ($Q$-вес). По степеням буквы отвечают: $\lambda_i\leftrightarrow P^i$ (вес 0), $\mu_i\leftrightarrow\beta P^i$ (вес 1).

• Цвет $=e$ во всех 281 клетке $(n,s,\text{цвет})$ при $4\le n\le75$, где цвета известны из прямого счёта лямбда-алгебры.
• За $\pi_{75}$ — во всех 180 клетках (67 ненулевых) до $\pi_{85}$, посчитанных перебором блоков метабиблиотеки.
• Поэтому $E^2$ с цветами на этом сайте до $n=150$ взят из $Q$-веса (2 с счёта); за $\pi_{85}$ равенство «цвет $=e$» не проверено независимо, но не нарушено нигде, где проверено.

Вычисление $Q$-веса — пример qgrade_dims в форке ispacex/sseq (ветка math-54-qgrade).

Границы

• Хищное правило окончательно до $n=149$; таблица Тоды 2003 года — до $n=82$, так что сравнение с ней — до $n=82$.
• Тода 2003 $\le E_2$ во всех $n\le82$.

Код — в рабочем репозитории; пришлём по запросу.