Цветная метабиблиотека: пересчёт
RUEN

Цветная метабиблиотека для 3-кручения $\pi_n(S^2)$: наш пересчёт

Мы попробовали повторить «хищную спектралку» из первой лекции курса «Цветные метабиблиотеки. Разум пространства» (Р. В. Михайлов, 02.09.2016): посчитать лист $E^2$ цветной метабиблиотеки и применить к нему правило «съедать себя как можно быстрее, ограничиваясь только цветом».

Что получилось

  1. Лист $E^2$ метабиблиотеки с цветами посчитан до $\pi_{150}$. Цвет оказался числом бокштейнов ($Q$-весом) в нестабильном Ext; это проверено поклеточно прямым счётом лямбда-алгебры до $\pi_{75}$ и выборочно до $\pi_{85}$ (метод и проверки).
  2. Цвета сэндвичей и элементов Тоды идут 3 4 4 5 5 6 …, как сказано в лекции (классы).
  3. Хищное правило с цветом $+1$ совпадает с таблицей Тоды при всех $n\le48$, включая $\pi_{44}=0$. Граница ровно на стемах $k<46$ — тех, что Тода определил в 1967 году.
  4. Предсказания из лекции правило воспроизводит: $\pi_{48}=0$, а 3-кручение есть при всех $49\le n\le149$; в $\pi_{71}$ — две копии $\mathbb Z/3$ при одном из порядков поедания (сравнение).
  5. С таблицей Тоды 2003 года после $\pi_{48}$ правило расходится ($\pi_{49}$, $\pi_{50}$, $\pi_{51}$, $\pi_{59}$, $\pi_{60}$, $\pi_{63}$, $\pi_{64}$, $\pi_{66}$, $\pi_{67}$, $\pi_{68}$, $\pi_{69}$, $\pi_{70}$, $\pi_{73}$, $\pi_{74}$, $\pi_{75}$, $\pi_{76}$, $\pi_{77}$, $\pi_{79}$, $\pi_{80}$), везде оставляя больше классов. У Тоды одна копия в $\pi_{71}$ и нули в $\pi_{51},\pi_{60},\pi_{67},\pi_{75},\pi_{76},\pi_{80}$ (наше прочтение). Для $\pi_{49}$–$\pi_{51}$, $\pi_{59}$, $\pi_{60}$ это доказано так, что проверяется без доверия к нашей программе (проверяемость). Почти все лишние классы снимают $d_5$, сохраняющие цвет, но не все разрешённые (дифференциалы).
  6. Правило не определяет порядок поедания, когда класс может быть и целью, и источником; от этого зависит, например, $\pi_{71}$ (дифференциалы).

Источники